第1节 流体动力学的积分型方程

1. 质量体和控制体

质量体

流场中封闭流体面 $\Sigma ^*\left( t \right)$ 所包含的流体。

控制体

相对于某参照坐标系不随时间变化的封闭曲面 $\Sigma$ 中所包含的流体。

经典的力学和热力学定理都是建立在闭系统上的，因此很容易在质量体上建立有限体的流体动力学方程，但是质量体是变形系统，质量体上的动力学方程在实际应用时很不方便。为此需要有一种方法把建立在质量体上的动力学方程变换到控制体上去。

为了明确区分这两种系统，质量体的体积和界面用 $D^*\left( t \right) ,\,\Sigma ^*\left( t \right)$ 表示，他们是时间的函数；控制体的体积和界面用 $D,\,\Sigma$ 表示，他们不随时间变化。

1. 质量体和控制体

第1节 流体动力学的积分型方程

2. 局部导数和随体导数

局部导数

控制体内某物理量总和随时间的增长率称为局部导数。

例如，控制体内的总质量 $M=\int_D{\rho \mathrm{d}V}$，它的局部导数为：

$$\frac{\partial}{\partial t}\int_D{\rho \mathrm{d}V}=\int_D{\frac{\partial \rho}{\partial t}\mathrm{d}V}$$

因为 $D$ 是控制体包围的内域，它和时间无关，因而局部导数和控制体上的积分运算可以交换。

2. 局部导数和随体导数

随体导数

质量体内某物理量总和对时间的增长率称为随体导数，用 $\mathrm{D}/\mathrm{D}t$ 表示。

随体导数又可称为物质导数、随流导数、对流导数、水动力导数、拉格朗日导数、随质点导数、随质导数、实质导数、斯托克斯导数、全导数。

例如，质量体内的总质量 $M=\int_{D^*\left( t \right)}{\rho \mathrm{d}V}$，它的随体导数为：

$$\frac{\mathrm{D}M}{\mathrm{D}t}=\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}\int_{D^*\left( t \right)}{\rho \mathrm{d}V}$$

因为质量体的积分域 $D^*\left( t \right)$ 是随时间变化的，所以随体导数不能和质量体上的积分运算变换。但可以使用如下输运公式对其进行处理。

3. 输运公式

定理：任一瞬间，质量体内物理量的随体导数等于该瞬间形状、体积相同的控制体内物理量的局部导数与通过该控制体表面的输运量之和。

$$ \left[ \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}\int_{D^*\left( \begin{array}{c} t\\ \end{array} \right)}{Q\mathrm{d}V} \right] _{t=t_0}=\int_D{\frac{\partial Q}{\partial t}\mathrm{d}V}+\oiint_{\Sigma}{Q\left( \boldsymbol{U}\cdot \boldsymbol{n} \right) \mathrm{d}A} $$

以上定理又称雷诺输运定理。它是在积分方法中联系拉格朗日法和欧拉法的关系式。

这里 $D^*\left( t \right)$ 表示质量体，$D^*\left( t_0 \right)$ 为 $t=t_0$ 时刻的质量体，它同时等于 $t=t_0$ 时取定的控制体体积 $D$；$\Sigma$ 为控制体的边界面，$Q$ 代表任意物理量，$\oiint_{\Sigma}{Q\left( \boldsymbol{U}\cdot \boldsymbol{n} \right) \mathrm{d}A}$ 是物理量 $Q$ 在 $\Sigma$ 面上的输运量，又称物理量的通量。

随体导数 = 局部导数 + 控制体输出的输运量

（4）能量守恒方程

根据热力学第一定律，质量体（闭系统）内总能量而增长率等于单位时间内的外力做功和输入质量体内的热量之和。即

$$ \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}\int_{D^*\left( t \right)}{\rho \left( e+\frac{\left| \boldsymbol{U} \right|^2}{2} \right) \mathrm{d}V}=\int_{D^*\left( t \right)}{\rho \boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{U}\mathrm{d}V} \\ +\oiint_{\Sigma ^*\left( t \right)}{\boldsymbol{T}_n\cdot \boldsymbol{U}\mathrm{d}A}+\int_{D^*\left( t \right)}{\rho \dot{q}\mathrm{d}V}+\oiint_{\Sigma ^*\left( t \right)}{\lambda \boldsymbol{n}\cdot \nabla T\mathrm{d}A} $$

式中，左侧为质量体的总能量增长率，包括动能增长率和内能增长率之和。右侧第一项是体积力做功率，第二项是表面力做功率，第三项是质量体内生成热，第四项是边界面上因热传导输入的热量。其中 $e$ 为流体单位质量的内能，它是热力学状态参数；$\left| \boldsymbol{U} \right|$ 是向量 $\boldsymbol{U}$ 的模，$\left| \boldsymbol{U} \right|^2/2$ 是单位质量的动能；$\dot{q}$ 是流体微团单位质量在单位时间内的生成热（例如，有化学反应时的化学反应热）；$\lambda$ 是傅里叶导热系数。

第1节 流体动力学的积分型方程

5. 控制体上的守恒方程

利用输运公式将以上 4 个方程左侧的随体导数转化为局部导数，并取控制体 $D=D^*\left( t \right)$，$\Sigma =\Sigma ^*\left( t \right)$，得到下列控制体上的守恒方程：

（1）质量守恒方程

$$\int_D{\frac{\partial \rho}{\partial t}\mathrm{d}V}+\oiint_{\Sigma}{\rho \left( \boldsymbol{U}\cdot \boldsymbol{n} \right) \mathrm{d}A}=0$$

（2）动量方程

$$\int_D{\frac{\partial \left( \rho \boldsymbol{U} \right)}{\partial t}\mathrm{d}V}+\oiint_{\Sigma}{\rho \boldsymbol{U}\left( \boldsymbol{U}\cdot \boldsymbol{n} \right) \mathrm{d}A}=\int_D{\rho \boldsymbol{f}\mathrm{d}V}+\oiint_{\Sigma}{\boldsymbol{T}_n\mathrm{d}A}$$

5. 控制体上的守恒方程

（3）动量矩方程

$$\int_D{\frac{\partial \left( \rho \boldsymbol{r}\times \boldsymbol{U} \right)}{\partial t}\mathrm{d}V}+\oiint_{\Sigma}{\rho \boldsymbol{r}\times \boldsymbol{U}\left( \boldsymbol{U}\cdot \boldsymbol{n} \right) \mathrm{d}A}=\int_D{\rho \boldsymbol{r}\times \boldsymbol{f}\mathrm{d}V}+\oiint_{\Sigma}{\boldsymbol{r}\times \boldsymbol{T}_n\mathrm{d}A}$$

（4）能量守恒方程

$$ \int_D{\frac{\partial \left[ \rho \left( e+\frac{\left| \boldsymbol{U} \right|^2}{2} \right) \right]}{\partial t}\mathrm{d}V}+\oiint_{\Sigma}{\rho \left( e+\frac{\left| \boldsymbol{U} \right|^2}{2} \right) \left( \boldsymbol{U}\cdot \boldsymbol{n} \right) \mathrm{d}A}=\int_D{\rho \boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{U}\mathrm{d}V} \\ +\oiint_{\Sigma}{\boldsymbol{T}_n\cdot \boldsymbol{U}\mathrm{d}A}+\int_D{\rho \dot{q}\mathrm{d}V}+\oiint_{\Sigma}{\lambda \boldsymbol{n}\cdot \nabla T\mathrm{d}A} $$

第1节 流体动力学的积分型方程

6. 非惯性坐标系中的守恒方程

控制体方法常用于流体的定常流动，但是在不同参照坐标系中流动的定常性是不同的。例如，地球上的定常流动，在太阳系的参照坐标系中观察时是非定常的。又如，旋转动流体机械内部流动，对于固定在旋转叶轮的参照坐标系中考察是定常的，而从地面参照坐标来考察该流动是非定常的。

为了便于应用控制体守恒方程，如果在运动参照坐标系中流动是定常的，往往在运动参照坐标系中建立控制体，这时就需要导出运动参照坐标系中的守恒方程。

根据质点运动学和动力学原理，在运动坐标系中质点相对运动的动力学方程中应当包含惯性力强度 $-\boldsymbol{a}$，它是相对于绝对坐标系的质点牵连牵连加速度及质点科氏加速度之和的负值。

6. 非惯性坐标系中的守恒方程

质点牵连加速度就是运动坐标系中对应点相对于绝对坐标系的加速度，质点科氏加速度等于质点相对速度和运动坐标系的旋转角速度的叉积。从而

$$\boldsymbol{a}=\boldsymbol{\dot{V}}_0\left( t \right) +\boldsymbol{\dot{\omega}}\left( t \right) \times \boldsymbol{r}+\boldsymbol{\omega }\times \left( \boldsymbol{\omega }\times \boldsymbol{r} \right) +2\boldsymbol{\omega }\times \boldsymbol{U}$$

式中，右侧前三项是牵连加速度，第四项是科氏加速度。其中 $\boldsymbol{\dot{V}}_0\left( t \right)$ 是运动坐标系远点的移动加速度，$\boldsymbol{\omega }$ 是运动坐标系相对于绝对坐标系的角速度，$\boldsymbol{\dot{\omega}}$ 是角加速度，$\boldsymbol{\dot{\omega}}\left( t \right) \times \boldsymbol{r}$ 是切向加速度，$\boldsymbol{\omega }\times \left( \boldsymbol{\omega }\times \boldsymbol{r} \right)$ 是向心加速度，$\boldsymbol{U}$ 是运动坐标系当地流体质点的相对运动速度，$2\boldsymbol{\omega }\times \boldsymbol{U}$ 是科氏加速度。

在控制体守恒方程中将 $\boldsymbol{f}$ 换成 $\boldsymbol{f}-\boldsymbol{a}$ 就能得到非惯性坐标系中的积分型守恒方程。

第1节 流体动力学的积分型方程

7. 理想流体管内一维流动的常用公式

流体的管内流动是最简单而又最常见的流动。在近似分析计算中，假定管内流动是单向、均匀的，即在管截面上流动速度是相等的，并都沿同一方向运动。这种近似称为一维流动假定。这时管截面 $A$ 是管流轴向坐标 $x$ 的函数，截面上的流速 $U$、压强 $p$、密度 $\rho$ 等物理量也只是轴向坐标 $x$ 的函数。下面应用控制体上理想流体流动的守恒方程导出几个常用公式。

7. 理想流体管内一维流动的常用公式

（1）管内定常流的质量守恒方程

定常流中局部导数为零，任意截面上的质量流量相等，故质量守恒方程为

$$\oiint_{\Sigma}{\rho \left( \boldsymbol{U}\cdot \boldsymbol{n} \right) \mathrm{d}A}=0$$

这里积分面积 $\Sigma$ 包括：管的侧面 $\delta A_{管壁}$ 和进出口断面 $A_1$、$A_2$，因此上式可写作

$$\iint_{A_{管壁}}{\rho \left( \boldsymbol{U}\cdot \boldsymbol{n} \right) \mathrm{d}A}+\iint_{A_1}{\rho \left( \boldsymbol{U}\cdot \boldsymbol{n} \right) \mathrm{d}A}+\iint_{A_2}{\rho \left( \boldsymbol{U}\cdot \boldsymbol{n} \right) \mathrm{d}A}=0$$

（1）管内定常流的质量守恒方程

管壁侧面是不可穿透的，因此上式中第一项的 $\boldsymbol{U}\cdot \boldsymbol{n} = 0$，因此通过流管的质量守恒方程为

$$\oiint_{A_1}{\rho \left( \boldsymbol{U}\cdot \boldsymbol{n} \right) \mathrm{d}A}=-\oiint_{A_2}{\rho \left( \boldsymbol{U}\cdot \boldsymbol{n} \right) \mathrm{d}A}$$

若流体均匀不可压缩，上式中的 $\rho$ 可约去

$$\oiint_{A_1}{\left( \boldsymbol{U}\cdot \boldsymbol{n} \right) \mathrm{d}A}=-\oiint_{A_2}{\left( \boldsymbol{U}\cdot \boldsymbol{n} \right) \mathrm{d}A}$$

（1）管内定常流的质量守恒方程

在一维近似中可压缩流体定常管内流动的连续方程为

$$\rho _1U_1A_1=\rho _2U_2A_2=\rho \left( x \right) U\left( x \right) A\left( x \right)$$

不可压缩流体管内流动的连续方程为

$$U_1A_1=U_2A_2=U\left( x \right) A\left( x \right)$$

对于不可压缩流体，控制体的质量和体积是不变的，即控制体内质量的局部导数始终等于零，因此上式也可用于非定常不可压缩流体的管内流动。不可压缩流体管内流动的连续方程的微分形式可写作

$$\mathrm{d}\left[ U\left( x \right) A\left( x \right) \right] =0$$

7. 理想流体管内一维流动的常用公式

（2）理想不可压缩流体在管内流动的动量守恒方程

由于管壁是不可穿透的，因此控制体内动量增长率包括：通过控制体的动量通量和单位时间内控制体的动量增量。单位时间内通过控制体的动量通量等于 $\rho\left( U_2U_2A_2-U_1U_1A_1 \right)$，利用不可压缩流体的连续方程 $U_1A_1=U_2A_2$，单位时间内通过控制体的动量通量为

$$\rho\left( U_2U_2A_2-U_1U_1A_1 \right) =\rho AU\mathrm{d}U$$

控制体内的动量增长率为

$$\frac{\partial \left( \rho U\delta V \right)}{\partial t}$$

（2）理想不可压缩流体在管内流动的动量守恒方程

作用在控制体上的外力包括：压强合力和体积力的合力。

控制体上压强合力等于 $p_1A_1-p_2A_2-\left( p_1+p_2 \right) \delta A_{管壁}n_x/2$，$n_x$ 是管壁的单位法向量在 $x$ 方向的投影，由模型图可知 $\delta A_{管壁}n_x=\left( A_1-A_2 \right) =-\mathrm{d}A$，令 $p=\left( p_1+p_2 \right) /2$，因此 $\left( p_1+p_2 \right) \delta A_{管壁}n_x/2=p\mathrm{d}A$ + 高阶小量。从而控制体上压强的合力为

$p_1A_1-p_2A_2+p\mathrm{d}A=-\mathrm{d}\left( pA \right) +p\mathrm{d}A=-A\mathrm{d}p$

控制体上体积力的合力为

$\rho f_x\delta V$

（2）理想不可压缩流体在管内流动的动量守恒方程

根据控制体上的动量守恒方程：控制体内动量增长率和单位时间动量通量之和等于作用在控制体上的外力之和，于是有

$$\frac{\partial \left( \rho U\delta V \right)}{\partial t}+\rho AU\mathrm{d}U=-A\mathrm{d}p+\rho f_x\delta V$$

控制体的体积 $\delta V=A\mathrm{d}x+\mathrm{高阶小量}$，上式可简化为

$$\frac{\partial U}{\partial t}+U\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}x}=-\frac{1}{\rho}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}+f_x$$

（2）理想不可压缩流体在管内流动的动量守恒方程

在有势的力场中，$f_x=-\partial \varPi /\partial x$，上式可简化为

$$\frac{\partial U}{\partial t}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left( \frac{U^2}{2}+\frac{p}{\rho}+\varPi \right) =0$$

不可压缩流体作定常运动时，$\partial U/\partial t=0$，上式可进一步简化为

$$\frac{U^2}{2}+\frac{p}{\rho}+\varPi =0$$

该式常称为伯努利公式或伯努利积分。

7. 理想流体管内一维流动的常用公式

（3）理想流体在势力场中作定常绝热管内流动时的能量方程

应用控制体上的能量方程可以到处以下理想流体在势力场中作定常绝热管内流动时的能量方程（证明过程略）

$$\frac{p}{\rho}+e+\frac{U^2}{2}+\varPi =\mathrm{const}$$

在热力学中，$e+p/\rho =h$ 是单位质量的热焓，因此上式的意义是：

理想流体作定常绝热管内流动时，单位质量的焓、动能和势能之和是常数。

1. 连续性方程

上式对连续流场中任意控制体都成立，则对任意微元也成立，故有

$$\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla \cdot \left( \rho \boldsymbol{U} \right) =0$$

上式为连续性方程的第一种形式，其物理意义可表述为

微元控制体密度的局部增长率 $\frac{\partial \rho}{\partial t}$
+ 微元控制体密度单位体积流出的质量 $\nabla \cdot \left( \rho \boldsymbol{U} \right)$ = 0

1. 连续性方程

上式中的 $\nabla \cdot \left( \rho \boldsymbol{U} \right)$ 可以展开为 $\nabla \cdot \left( \rho \boldsymbol{U} \right) =\boldsymbol{U}\cdot \nabla \rho +\rho \nabla \cdot \boldsymbol{U}$。代入上式，得连续性方程的第二种形式

$$\frac{\partial \rho}{\partial t}+\boldsymbol{U}\cdot \nabla \rho +\rho \nabla \cdot \boldsymbol{U}=0$$

或

$$\frac{\mathrm{D}\rho}{\mathrm{D}t}+\rho \nabla \cdot \boldsymbol{U}=0$$

其物理意义为

微团密度的相对增长率 $\frac{1}{\rho}\frac{\mathrm{D}\rho}{\mathrm{D}t}$ + 微团的相对体积膨胀率 $\left( \nabla \cdot \boldsymbol{U} \right)$ = 0

1. 连续性方程

对于不可压缩流体，有 $\frac{\mathrm{D}\rho}{\mathrm{D}t}=0$，因此其连续性方程为

$$\nabla \cdot \boldsymbol{U}=0$$

上式既适用于均质不可压缩流体，也适用于非均质不可压缩流体。

第4节 流体动力学的微分型控制方程

2. 运动方程

流体微团的动量方程称为流体运动方程。以下是前面已经得出的积分形式的动量方程

$$\int_D{\frac{\partial \left( \rho \boldsymbol{U} \right)}{\partial t}\mathrm{d}V}+\oiint_{\Sigma}{\rho \boldsymbol{U}\left( \boldsymbol{U}\cdot \boldsymbol{n} \right) \mathrm{d}A}=\int_D{\rho \boldsymbol{f}\mathrm{d}V}+\oiint_{\Sigma}{\boldsymbol{T}_n\mathrm{d}A}$$

仍然应用高斯公式将面积分化为体积分

$$\oiint_{\Sigma}{\rho \boldsymbol{U}\left( \boldsymbol{U}\cdot \boldsymbol{n} \right) \mathrm{d}A}=\int_D{\nabla \cdot \left( \rho \boldsymbol{UU} \right) \mathrm{d}V}=\int_D{\nabla \cdot \left( \rho U_iU_j\boldsymbol{e}_i\boldsymbol{e}_j \right) \mathrm{d}V}$$

$$\oiint_{\Sigma}{\boldsymbol{T}_n\mathrm{d}A}=\oiint_{\Sigma}{\left( T_{ij}\boldsymbol{e}_i\boldsymbol{e}_j \right) \cdot \boldsymbol{n}\mathrm{d}A}=\int_D{\nabla \cdot \left( T_{ij}\boldsymbol{e}_i\boldsymbol{e}_j \right) \mathrm{d}V}$$

2. 运动方程

将他们代入积分型动量方程，得

$$\int_D{\left[ \frac{\partial \left( \rho \boldsymbol{U} \right)}{\partial t}+\nabla \cdot \left( \rho U_iU_j\boldsymbol{e}_i\boldsymbol{e}_j \right) -\nabla \cdot \left( T_{ij}\boldsymbol{e}_i\boldsymbol{e}_j \right) -\rho \boldsymbol{f} \right] \mathrm{d}V}=0$$

上式对任意控制体都成立，在连续流场中上式对任意微元控制体成立，故有

$$\frac{\partial \left( \rho \boldsymbol{U} \right)}{\partial t}+\nabla \cdot \left( \rho U_iU_j\boldsymbol{e}_i\boldsymbol{e}_j \right) =\rho \boldsymbol{f}+\nabla \cdot \left( T_{ij}\boldsymbol{e}_i\boldsymbol{e}_j \right)$$

2. 运动方程

$$\frac{\partial \left( \rho \boldsymbol{U} \right)}{\partial t}+\nabla \cdot \left( \rho U_iU_j\boldsymbol{e}_i\boldsymbol{e}_j \right) =\rho \boldsymbol{f}+\nabla \cdot \left( T_{ij}\boldsymbol{e}_i\boldsymbol{e}_j \right)$$

上式是运动方程的第一种形式。其物理意义可表述为

微元控制体单位体积流体上的局部动量增长率与通过微元控制体的单位体积流体的动量输出量之和，等于微元控制体上单位体积流体的质量力与表面力之和。

2. 运动方程

最终，得到运动方程的第二种形式

$$\frac{\partial \boldsymbol{U}}{\partial t}+\boldsymbol{U}\cdot \nabla \boldsymbol{U}=\boldsymbol{f}+\frac{1}{\rho}\nabla \cdot \left( T_{ij}\boldsymbol{e}_i\boldsymbol{e}_j \right)$$

或

$$\frac{\mathrm{D}U}{\mathrm{D}t}=\boldsymbol{f}+\frac{1}{\rho}\nabla \cdot \left( T_{ij}\boldsymbol{e}_i\boldsymbol{e}_j \right)$$

其物理意义可表述为

流体微团加速度 $\frac{\mathrm{D}U}{\mathrm{D}t}$ 等于作用在微团上单位质量流体的质量力 $\boldsymbol{f}$ 和表面合力 $\nabla \cdot \left( T_{ij}\boldsymbol{e}_i\boldsymbol{e}_j \right)/\rho$ 之和。

第4节 流体动力学的微分型控制方程

3. 能量方程

流体微团的能量方程也由积分型能量方程出发来导出，前面得出的积分型能量方程为

$$ \int_D{\frac{\partial \left[ \rho \left( e+\frac{\left| \boldsymbol{U} \right|^2}{2} \right) \right]}{\partial t}\mathrm{d}V}+\oiint_{\Sigma}{\rho \left( e+\frac{\left| \boldsymbol{U} \right|^2}{2} \right) \left( \boldsymbol{U}\cdot \boldsymbol{n} \right) \mathrm{d}A}=\int_D{\rho \boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{U}\mathrm{d}V} \\ +\oiint_{\Sigma}{\boldsymbol{T}_n\cdot \boldsymbol{U}\mathrm{d}A}+\int_D{\rho \dot{q}\mathrm{d}V}+\oiint_{\Sigma}{\lambda \boldsymbol{n}\cdot \nabla T\mathrm{d}A} $$

仍然应用高斯公式将面积分化为体积分

$$ \begin{aligned} \oiint_{\Sigma}{\rho \left( e+\frac{\left| \boldsymbol{U} \right|^2}{2} \right) \left( \boldsymbol{U}\cdot \boldsymbol{n} \right) \mathrm{d}A}&=\int_D{\nabla \cdot \left[ \rho \left( e+\frac{\left| \boldsymbol{U} \right|^2}{2} \right) \boldsymbol{U} \right] \mathrm{d}V}\\ &=\int_D{\rho \boldsymbol{U}\cdot \nabla \left( e+\frac{\left| \boldsymbol{U} \right|^2}{2} \right) \mathrm{d}V}+\int_D{\left( e+\frac{\left| \boldsymbol{U} \right|^2}{2} \right) \nabla \cdot \left( \rho \boldsymbol{U} \right) \mathrm{d}V}\\ \end{aligned} $$

3. 能量方程

$$\oiint_{\Sigma}{\boldsymbol{T}_n\cdot \boldsymbol{U}\mathrm{d}A}=\oiint_{\Sigma}{\boldsymbol{U}\cdot \left( T_{ij}\boldsymbol{e}_i\boldsymbol{e}_j \right) \cdot \boldsymbol{n}\mathrm{d}A}=\int_D{\nabla \cdot \left[ \boldsymbol{U}\cdot \left( T_{ij}\boldsymbol{e}_i\boldsymbol{e}_j \right) \right] \mathrm{d}V}$$

$$\oiint_{\Sigma}{\lambda \boldsymbol{n}\cdot \nabla T\mathrm{d}A}=\int_D{\lambda \nabla \cdot \nabla T\mathrm{d}V}=\int_D{\lambda \Delta T\mathrm{d}V}$$

将以上三式代入能量方程，的

$$ \int_D{\left\{ \begin{array}{c} \frac{\partial \left[ \rho \left( e+\frac{\left| \boldsymbol{U} \right|^2}{2} \right) \right]}{\partial t}+\rho \boldsymbol{U}\cdot \nabla \left( e+\frac{\left| \boldsymbol{U} \right|^2}{2} \right) +\left( e+\frac{\left| \boldsymbol{U} \right|^2}{2} \right) \nabla \cdot \left( \rho \boldsymbol{U} \right)\\ -\rho \boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{U}-\nabla \cdot \left[ \boldsymbol{U}\cdot \left( T_{ij}\boldsymbol{e}_i\boldsymbol{e}_j \right) \right] -\rho \dot{q}-\lambda \Delta T\\ \end{array} \right\} \mathrm{d}V}=0 $$

上式对任意控制体都应成立，因此在连续流场内处处满足，括号内 7 项和应为零，即（见下页）

3. 能量方程

$$ \frac{\partial \left[ \rho \left( e+\frac{\left| \boldsymbol{U} \right|^2}{2} \right) \right]}{\partial t}+\rho \boldsymbol{U}\cdot \nabla \left( e+\frac{\left| \boldsymbol{U} \right|^2}{2} \right) +\left( e+\frac{\left| \boldsymbol{U} \right|^2}{2} \right) \nabla \cdot \left( \rho \boldsymbol{U} \right) \\ -\rho \boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{U}-\nabla \cdot \left[ \boldsymbol{U}\cdot \left( T_{ij}\boldsymbol{e}_i\boldsymbol{e}_j \right) \right] -\rho \dot{q}-\lambda \Delta T=0 $$

展开上式第一项局部导数

$$\frac{\partial}{\partial t}\left[ \rho \left( e+\frac{\left| \boldsymbol{U} \right|^2}{2} \right) \right] =\left( e+\frac{\left| \boldsymbol{U} \right|^2}{2} \right) \frac{\partial \rho}{\partial t}+\rho \frac{\partial}{\partial t}\left( e+\frac{\left| \boldsymbol{U} \right|^2}{2} \right)$$

将上式代入能量方程，并应用连续性方程 $\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla \cdot \left( \rho \boldsymbol{U} \right) =0$ 进行消项，得流体运动的微分型能量方程为

$$\frac{\partial}{\partial t}\left( e+\frac{\left| \boldsymbol{U} \right|^2}{2} \right) +\boldsymbol{U}\cdot \nabla \left( e+\frac{\left| \boldsymbol{U} \right|^2}{2} \right) -\boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{U}-\frac{1}{\rho}\nabla \cdot \left[ \boldsymbol{U}\cdot \left( T_{ij}\boldsymbol{e}_i\boldsymbol{e}_j \right) \right] -\dot{q}-\frac{\lambda}{\rho}\Delta T=0$$

3. 能量方程

$$\frac{\partial}{\partial t}\left( e+\frac{\left| \boldsymbol{U} \right|^2}{2} \right) +\boldsymbol{U}\cdot \nabla \left( e+\frac{\left| \boldsymbol{U} \right|^2}{2} \right) -\boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{U}-\frac{1}{\rho}\nabla \cdot \left[ \boldsymbol{U}\cdot \left( T_{ij}\boldsymbol{e}_i\boldsymbol{e}_j \right) \right] -\dot{q}-\frac{\lambda}{\rho}\Delta T=0$$

以上能量方程的物理意义可表述为

微团单位质量流体的能量增长率 =
质量力功率 + 单位质量流体的表面力功率 +
微团内单位质量流体的生成热 + 单位质量流体上由热传导输入的热量

第4节 流体动力学的微分型控制方程

4. 微分型方程组的封闭性讨论

以上所得连续性方程、运动方程和能量方程归纳如下：

$$ \begin{cases} \frac{\partial \rho}{\partial t}+\boldsymbol{U}\cdot \nabla \rho +\rho \nabla \cdot \boldsymbol{U}=0\\ \frac{\partial \boldsymbol{U}}{\partial t}+\boldsymbol{U}\cdot \nabla \boldsymbol{U}=\boldsymbol{f}+\frac{1}{\rho}\nabla \cdot \left( T_{ij}\boldsymbol{e}_i\boldsymbol{e}_j \right)\\ \frac{\partial}{\partial t}\left( e+\frac{\left| \boldsymbol{U} \right|^2}{2} \right) +\boldsymbol{U}\cdot \nabla \left( e+\frac{\left| \boldsymbol{U} \right|^2}{2} \right) -\boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{U}-\frac{1}{\rho}\nabla \cdot \left[ \boldsymbol{U}\cdot \left( T_{ij}\boldsymbol{e}_i\boldsymbol{e}_j \right) \right] -\dot{q}-\frac{\lambda}{\rho}\Delta T=0\\ \end{cases} $$

给定适当的初始条件和边界条件后，求解这组微分方程就可以计算出速度场、应力场等。但是方程可解的必要条件是方程数和未知量数必须相等，即方程是封闭的。

以上方程组包含 5 个数量方程（运动方程是向量方程），共 12 个未知数：$\rho$、$e$、$T$、$\boldsymbol{U}$（3 个）、$T_{ij}$（6 个），因此该方程组是不封闭的，需要补充 7 个独立方程。这些方程是有别于守恒定理的其他物理规律，如热力学定律、物性方程等。

4. 微分型方程组的封闭性讨论

（1）热力学状态方程

流体微团是宏观的热力学平衡体，因此方程中出现的热力学状态参数 $\rho$、$e$、$T$ 等只有两个独立变量。

对于内能，可将内能 $e$ 写成 $T$、$\rho$ 的函数

$$e=e\left( T, \rho \right)$$

压强、密度和温度之间有状态方程

$$p=p\left( \rho , T \right)$$

4. 微分型方程组的封闭性讨论

（1）热力学状态方程

气体的状态方程为

$$p=\frac{\rho RTZ}{M_{mol}}$$

式中，$M_{mol}$ 为气体的摩尔质量，kg/mol；$T$ 为气体温度，K；$\mathrm{R}$ 为气体常数，$\mathrm{R}$ = 8.314J/(mol‧K)；$Z$ 为真实气体的压缩因子（或称偏差因子），它是理想气体状态方程用于实际气体时必须考虑的一个校正因子，用以表示实际气体受到压缩后与理想气体受到同样的压力压缩后在体积上的偏差。

对于均质不可压缩液体，其状态方程为

$$\rho =\mathrm{const}.$$

4. 微分型方程组的封闭性讨论

（2）本构方程

流体微团的应力状态和微团变形运动状态间的物性关系，称为流体的本构方程。一般情况下，微团应力状态是微团变形运动的泛函

$$T_{ij}=T_{ij}\left( \nabla \boldsymbol{U}, \cdots , t \right)$$

本构方程是张量方程，它有 6 个代数方程。在求解运动方程前必须已知本构方程。

在补充了 1 个热力学状态方程和 6 个本构方程后，流体力学方程组就封闭了。

4. 微分型方程组的封闭性讨论

例如，理想流体的应力张量是各向同性的并且和微团的变形运动无关

$$T_{ij}=-p\delta _{ij}$$

式中，$\delta _{ij}$ 是克罗内克δ函数，有

$$ \delta _{ij}=\begin{cases} 1& \mathrm{if}\quad i=j\\ 0& \mathrm{if}\quad i\ne j\\ \end{cases} $$

将理想流体的本构方程代入运动方程后，未知量减少为 7 个：$\rho$、$e$、$T$、$\boldsymbol{U}$（3 个）、$p$，而理想流体的控制方程组恰好有 7 个方程：1 个连续性方程、3 个运动方程、1 个能量方程、1 个热力学状态方程和 1 个应力状态方程。因此，理想流体动力学方程组是封闭的。

第4节 流体动力学的微分型控制方程

5. 边界条件和初始条件

流体动力学方程组是非线性偏微分方程，需要给定适当的初始条件和边界条件才能有确定的解。

（1）边界条件

边界条件通常可以分为以下几类（其数学表述见教材）：

• 静止无界流场中无穷远条件
• 固壁
• 互不掺混流体的界面

5. 边界条件和初始条件

流体动力学方程组是非线性偏微分方程，需要给定适当的初始条件和边界条件才能有确定的解。

（2）初始条件

初始条件是流场的初始状态，一般情况下，在初始时刻 $t=t_0$，给出速度场和热力学状态的分布

$$t=t_0:\;\boldsymbol{U}=\boldsymbol{U}\left( \boldsymbol{x} \right) , p=p\left( \boldsymbol{x} \right) ,\rho =\rho \left( \boldsymbol{x} \right)$$

对于定常流动，流场和时间无关，因此不需要提供初始条件。