1.1 力学中的“量”

在三维欧几里得空间中，可以用 1 个实数表示一个标量，用 3 个实数构成的数组表示一个向量，用 9 个实数构成的方阵表示一个（二阶）张量。在表示三种量的分量时，标量不需要下标（自由标），向量需要 1 个下标，表示成方阵的张量需要 2 个下标。

有时将标量、向量和张量统称为张量，其分量下标的个数称为张量的阶数（和矩阵秩的概念不一样）。从而标量为 0 阶张量，向量为 1 阶张量，而像应力、应变之类的张量为 2 阶张量。

1.2 向量的表示

为了便于使向量参与矩阵运算，也常将向量定义为如下的列向量（只有在少数时候看作是行向量）：

$$\boldsymbol{v}=\left[ \begin{array}{c} v_1\\ v_2\\ v_3\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{matrix} v_1& v_2& v_3\\ \end{matrix} \right] ^{\text{T}}$$

以上描述向量的三个数 v₁、v₂ 和 v₃ （或 v_x、v_y 和 v_z）称为向量在该坐标系统三个坐标轴方向上的分量。

2.1 向量的加法和减法

这种求两向量之和的方法称为向量相加的平行四边形法则。

应用：从点 $\boldsymbol{a}$ 到点 $\boldsymbol{b}$ 的位移为$\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}$。

2.2 向量的标量乘法

向量可以与一个标量（实数）相乘，其乘积也是一个向量

$$r\boldsymbol{a}=\left( ra_1 \right) \boldsymbol{\hat{e}}_1+\left( ra_2 \right) \boldsymbol{\hat{e}}_2+\left( ra_3 \right) \boldsymbol{\hat{e}}_3$$

向量的加减法与标量乘法统称为向量的线性运算。

2.2 向量的标量乘法

牛顿第二运动定律：

施加于物体的外力等于此物体的质量与加速度的乘积。

可用向量法表示

$$\boldsymbol{F}=m\boldsymbol{a}$$

其中

$$\boldsymbol{a}=\frac{\text{d}\boldsymbol{v}}{\text{d}t}=\left( \frac{\text{d}}{\text{d}t} \right) \left( \frac{\text{d}\boldsymbol{r}}{\text{d}t} \right) =\frac{\text{d}^2\boldsymbol{r}}{\text{d}t^2}$$

第3节 向量的微分运算

3.1 场和场函数

在物理中，我们所关注的物理量往往是在待求解的空间区域分布的，这个和特定物理量相关的区域就是一个场。如温度场、速度场、应变场等等。相应地，确定场的物理量称为场量，定义位置点（有时还要加上时间）与场量关系的函数称为场函数。

3.1 场和场函数

3. 场函数表述方法

标量场函数（或称标量函数）可表示为

$$f=f\left( \boldsymbol{x} \right) $$

向量场函数（或称向量值函数）可表示为

$$\boldsymbol{f}=\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x} \right)$$

注：向量场函数的自变量、因变量都是向量。

3.2 梯度

1. 什么是梯度？

设有这样一个定义在平面笛卡尔坐标系下的标量场函数

$$f = f\left( {x,y} \right)$$

该二元函数的图形是一个空间曲面。我们在高等数学中已经学习过该函数的偏导数、全微分、方向导数和梯度的定义和几何意义，现在先来回顾一下。

1. 什么是梯度？

设一平面与该曲面在某一点\({P_0}\left( {{x_0},{y_0}} \right)\)相切，该切平面的方程为

$$f-f_0=f_x\left( x_0,y_0 \right) \left( x-x_0 \right) +f_y\left( x_0,y_0 \right) \left( y-y_0 \right)$$

函数的全微分

$$\text{d}f=\frac{\partial f}{\partial x}\text{d}x+\frac{\partial f}{\partial y}\text{d}y$$

表示该曲面在点 ${P_0}\left( {{x_0},{y_0}} \right)$ 处的切平面上点的竖坐标 f 的增量，即 f 的变化主要是由 x 和 y 的变化引起的。

1. 什么是梯度？

函数的方向导数为

$$\left. \frac{\partial f}{\partial l} \right|_{\left( x_0,y_0 \right)}=f_x\left( x_0,y_0 \right) \cos \alpha +f_y\left( x_0,y_0 \right) \cos \beta$$

它表示函数在点 ${P_0}\left( {{x_0},{y_0}} \right)$ 沿着处于水平面上的某方向 $\boldsymbol{l}$ 的变化率。其中 $\cos \alpha $, $\cos \beta $ 是方向 $\boldsymbol{l}$ 与坐标轴夹角的余弦。

而偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 反映的是函数沿坐标轴方向的变化率。

2. $\nabla$ 算符

梯度表达式 $\nabla f$ 中的 $\nabla$ 叫做哈密顿（Hamilton）算符（运算符，算子），或称为Nabla符号，有时可直接读作 “del”，或直接根据其含义说成为“梯度”或 “grad”。这个符号是一个矢性微分算符，其定义为

$$\nabla =\frac{\partial}{\partial x_1}\boldsymbol{\hat{e}}_1+\frac{\partial}{\partial x_2}\boldsymbol{\hat{e}}_2+\frac{\partial}{\partial x_3}\boldsymbol{\hat{e}}_3$$

2. $\nabla$ 算符

$\nabla$ 算符本身并无意义，它同微分算符 $\text{d}f$、不定积分算符 $\int{f}$ 及偏微分算符 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 一样，只是一种微分运算符号。但这是一个神奇的符号，它在运算中具有矢量和微分算符的双重性质，分别可与数量场和矢量场发生作用。

把任何标量场函数放到 $\nabla$ 的右边，就求得函数的梯度，如前面得出的梯度 $\nabla f$。

5. 向量场的梯度

向量场函数 $\boldsymbol{F}\left( \boldsymbol{x} \right)$ 的梯度为

$$\nabla \boldsymbol{F}=\boldsymbol{J}'=\left[ \begin{matrix} \frac{\partial F_1}{\partial x_1}& \frac{\partial F_2}{\partial x_1}& \frac{\partial F_3}{\partial x_1}\\ \frac{\partial F_1}{\partial x_2}& \frac{\partial F_2}{\partial x_2}& \frac{\partial F_3}{\partial x_2}\\ \frac{\partial F_1}{\partial x_3}& \frac{\partial F_2}{\partial x_3}& \frac{\partial F_3}{\partial x_3}\\ \end{matrix} \right]$$

即向量场函数的梯度等于其导数（雅可比矩阵）的转置。

3.3 散度

1. 散度的定义

设 $\boldsymbol{F}$ 是向量场函数，将 $\nabla$ 看作向量，根据向量的标量积的计算方法可得

$$\nabla \cdot \boldsymbol{F}=\frac{\partial F_1}{\partial x_1}+\frac{\partial F_2}{\partial x_2}+\frac{\partial F_3}{\partial x_3}$$

$\nabla \cdot \boldsymbol{F}$ 在物理学中被称作向量场 $\boldsymbol{F}$ 的 散度，即

$$\text{div}\boldsymbol{F}=\nabla \cdot \boldsymbol{F}$$

2. 散度的物理意义

向量场的散度表示向量场通量在特定点表现得像源的程度，即对局部位置“流出”的度量——从一个无限小的空间区域流出的场向量比流入的场向量多出的程度。当一个点的散度为正时，该点为源；当散度为负时，该点为汇。通过包围给定点的小表面的场通量越大，该点的散度绝对值就越大。通过封闭表面的通量为零的点具有零散度。

2. 散度的物理意义

例如，用气体的速度场来解释向量场的散度。气体的速度场是一个向量场。如果气体被加热，它会膨胀，这将导致气体分子向四周净运动。对场中任一个封闭的表面，气体将通过该曲面向外净流动，从而所有位置的速度场的散度为正。反之，若气体冷却，它将收缩，所有位置的速度场的散度为负。若空气温度不变，气体不膨胀和收缩，虽然气体仍然会流动，但流入任何封闭表面的气体流量速率等于流出的流量速率，其净流量为零，所有位置的的散度为零（这时的场称为螺线向量场）。

2. 散度的物理意义

如果气体仅在局部位置被加热，或者在一个点引入一个提供额外气体流量的小管，则那里的气体分子将向四周流出，这将在整个流场中产生一个以此点为中心的向外速度场。任何包围该点的封闭表面都会有气体从里面净流出，所以在该点具有正散度。当流场为稳定流时，任何没有包围该点的封闭表面内部都将有恒定的流速，流入和流出该区域的体积相等，这些位置的散度为零。

3.4 旋度

1. 旋度的定义

设 $\boldsymbol{F}$ 是向量场函数，将 $\nabla$ 看作向量，根据向量的向量积的计算方法可得

$$\nabla \times \boldsymbol{F}=\left| \begin{matrix} \boldsymbol{\hat{e}}_1& \boldsymbol{\hat{e}}_2& \boldsymbol{\hat{e}}_3\\ \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}& \frac{\partial}{\partial z}\\ F_x& F_y& F_z\\ \end{matrix} \right|$$

$\nabla \times \boldsymbol{F}$ 在物理学中被称作向量场 $\boldsymbol{F}$ 的 旋度，即

$$\text{curl} \, \boldsymbol{F}=\text{rot} \boldsymbol{F}=\nabla \times \boldsymbol{F}$$

1. 旋度的定义

向量场旋度的展开形式为

$$\begin{aligned} \nabla \times \boldsymbol{F}&=\left( \frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z} \right) \boldsymbol{\hat{e}}_1+\left( \frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x} \right) \boldsymbol{\hat{e}}_2+\left( \frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y} \right) \boldsymbol{\hat{e}}_3\\ &=\left[ \begin{array}{c} \frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z}\\ \frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x}\\ \frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\\ \end{array} \right]\\ \end{aligned}$$

如右图所示，在向量场 $\boldsymbol{F}\left( \boldsymbol{x} \right)$ 中的任意点 $\boldsymbol{x}$ 的周围有一闭合有向曲线 $C$（其正方向规定为使得闭合曲线 $C$ 所包围的面积在它的左侧），$\boldsymbol{F}$ 沿着该曲线正方向的闭合曲线积分 $\oint_C{\boldsymbol{F}}\cdot \text{d}\boldsymbol{r}$ 称为向量场沿着该曲线的环量（或称旋涡量）。当闭合曲线所包围的面积趋于零时，环量与该面积微元的比值的极限值 $\lim_{A\rightarrow 0} \left( \frac{1}{|A|}\oint_C{\boldsymbol{F}}\cdot \text{d}\boldsymbol{r} \right)$ 称为向量场的环量面密度（或称环量强度）。

2. 旋度的物理意义

假设在流动的流体中放置一个表面粗糙的小球，球的中心固定在某一点（不可移动，可以绕中心向任意方向旋转），则流体的流动会使小球旋转。小球的旋转轴（根据右手法则确定）与小球中心位置的速度场旋度同向，旋转角速度是该点旋度大小的一半。

如果一个向量场中处处的旋度都是零，则称这个场为无旋场或保守场。

3.5 向量场的二阶微商

1. 梯度的旋度

针对如下二阶微商运算

$$\text{curl}\left( \text{grad}\,f \right) =\nabla \times \left( \nabla f \right) =\left( \nabla \times \nabla \right) f=0$$

从上式可得出两条结论：

• 一个梯度的旋度为零。
• 相反，如果 $\text{curl}\boldsymbol{F}$ 等于零，则 $\boldsymbol{F}$ 总是某标量场的梯度。即存在一个标量场 $\varPhi$（常称作标量势），使得 $\boldsymbol{F}=\nabla \varPhi$。

2. 旋度的散度

针对如下二阶微商运算（因为 $\nabla \times \boldsymbol{F}$ 垂直于 $\nabla$，所以 $\nabla$ 方向上没有 $\nabla \times \boldsymbol{F}$ 的分量）

$$\text{div}\left( \text{curl}\,\boldsymbol{F} \right) =\nabla \cdot \left( \nabla \times \boldsymbol{F} \right) =0$$

从上式可得出两条结论：

• 一个旋度的散度为零。
• 相反，如果 $\text{div}\boldsymbol{F}$ 等于零，则 $\boldsymbol{F}$ 总是某向量场的旋度。即存在一个向量场 $\boldsymbol{C}$，使得 $\boldsymbol{F}=\nabla \times \boldsymbol{C}$。

3. 拉普拉斯算符（作用于标量场）

针对如下二阶微商运算（因为 $\nabla \times \boldsymbol{F}$ 垂直于 $\nabla$，所以 $\nabla$ 方向上没有 $\nabla \times \boldsymbol{F}$ 的分量）

$$\begin{aligned} \nabla \cdot \left( \nabla f \right) &=\nabla _{x_1}\left( \nabla _{x_1}f \right) +\nabla _{x_2}\left( \nabla _{x_2}f \right) +\nabla _{x_3}\left( \nabla _{x_3} \right)\\ &=\frac{\partial ^2f}{\partial x_{1}^{2}}+\frac{\partial ^2f}{\partial x_{2}^{2}}+\frac{\partial ^2f}{\partial x_{3}^{2}}\\ \end{aligned}$$

上式可简写为

$$\nabla \cdot \left( \nabla f \right) =\nabla \cdot \nabla f=\left( \nabla \cdot \nabla \right) f=\nabla ^2f$$

3. 拉普拉斯算符（作用于标量场）

这里我们把 $\nabla ^2$ 看作一个新的算符。这是一个标量算符。由于它经常出现在物理学中，因而被赋予一个专用名称：拉普拉斯算符（或称拉普拉斯算子）。

$$\nabla ^2=\Delta =\frac{\partial ^2}{\partial x_{1}^{2}}+\frac{\partial ^2}{\partial x_{2}^{2}}+\frac{\partial ^2}{\partial x_{3}^{2}}$$

4. 拉普拉斯算符（作用于向量场）

虽然拉普拉斯算子是一个标量运算符，但同样可以对向量进行运算，只是要对每一个分量进行运算：

$$\nabla \left( \nabla \cdot \boldsymbol{F} \right) =\nabla ^2\boldsymbol{F}=\left( \nabla ^2F_{x_1},\nabla ^2F_{x_2},\nabla ^2F_{x_3} \right)$$

5. 旋度的旋度

对于下式，使用前面学到的向量三重积运算，可得

$$\begin{aligned} \nabla \times \left( \nabla \times \boldsymbol{F} \right) &=\nabla \left( \nabla \cdot \boldsymbol{F} \right) -\left( \nabla \cdot \nabla \right) \boldsymbol{F}\\ &=\nabla \left( \nabla \cdot \boldsymbol{F} \right) -\nabla ^2\boldsymbol{F}\\ \end{aligned}$$

3.6 向量的微分运算小结

第4节 向量的积分运算

上一节得出的三种基本的微分运算符都有对应的积分定理，从而使微积分基本定理推广到更高维度。

• 梯度定理；
• 高斯散度定理；
• 旋度定理（开尔文–斯托克斯定理）。

在二维空间内，散度和旋度定理变为格林公式。

4.1 梯度定理

梯度定理也称线积分基本定理，可表述为：

标量场梯度沿曲线的积分可用标量场在该曲线两端的值之差来计算。

设有一个标量场函数 $\varphi \left( \boldsymbol{r} \right)$（在三维直角坐标系中相当于 $\varphi \left( x_1,x_2,x_3 \right)$），则其梯度向量场函数为 $\nabla \varphi$。对于连接连接空间中两点 $\boldsymbol{p}$ 和 $\boldsymbol{q}$ 的任意曲线 $\varGamma$，沿此曲线从点 $\boldsymbol{p}$ 到 $\boldsymbol{q}$ 的积分符合如下关系：

4.1 梯度定理

$$\int_{\varGamma \left( \boldsymbol{p},\boldsymbol{q} \right)}{\nabla \varphi}\cdot \text{d}\boldsymbol{r}=\varphi \left( \boldsymbol{q} \right) -\varphi \left( \boldsymbol{p} \right)$$

梯度定理把微积分基本定理从直线数轴推广到平面、空间，乃至一般的 n 维空间中的曲线

梯度定理表明梯度场的曲线积分是路径无关的，这是物理学中保守力的定义方式之一。如果 $\varphi$ 是位势，则 $\nabla\varphi$ 就是保守向量场。上面的公式表明：保守力做功只和物体运动路径的端点有关，而与路径本身无关。

4.1 梯度定理

梯度定理的逆定理

如果 $\boldsymbol{F}$ 是个路径无关的向量场，则它是某个标量函数 $\varphi$ 的梯度。

当且仅当向量场沿任意闭曲线的积分为零时，该向量场是路径无关的。因此该逆定理也可表述如下：

如果向量场 $\boldsymbol{F}$ 沿定义域中每条闭曲线的积分为零，那么 $\boldsymbol{F}$ 是某个标量值函数 $\varphi$ 的梯度。

4.2 散度定理

散度定理又称高斯定理、奥斯特罗格拉德斯基定理或高斯－奥斯特罗格拉德斯基定理，这是一个把向量场通过闭合曲面的流动（即通量）与曲面内部的向量场的变化联系起来的定理，可表述为：

向量场穿过曲面的通量，等于散度在曲面围起来的体积上的积分。

或者用更直观的表述：

所有源点的和减去所有汇点的和，就是流出这区域的净流量。

4.2 散度定理

假设空间中有一闭区域 V，该区域被分片光滑的闭合曲面 S 包围，$\boldsymbol{F}$ 是定义在 V 的邻域上的连续可微的向量场，则有

$$\iiint_V{\left( \nabla \cdot \boldsymbol{F} \right)}\,\mathrm{d}v=\oiint_S{\left( \boldsymbol{F}\cdot \boldsymbol{n} \right) \,\mathrm{d}s}$$

其中 $\boldsymbol{n}$ 是曲面 S 上指向区域外部的单位法向量。

4.2 散度定理

可以用液体的的流动来解释散度定理。运动的液体在每一点的速度构成一个向量场。假想流体内部有一个闭合曲面 S，在该闭合曲面内部形成了一个体积区域。液体流出该体积的流量等于穿过该表面的流体的体积速率，即表面上速度的表面积分。

• 由于流体是不可压缩的，封闭区域内的液体量是恒定的。如果体积内没有源和汇，那么流出 S 的液体净流量必为零。
• 如果体积内有源，如具有通向该体积的进水管道，则在源处额外出现的液体将对周围液体施加压力，导致液体在所有方向上向外流动。这将导致通过表面 S 的净向外流。通过表面 S 的向外流等于流体从管道流入 S 内的体积流量。

4.2 散度定理

• 同样，如果体积内有汇，相当于有通向该体积的排水管，液体通过表面 S 向内流动的体积速率等于液体被排水管排出的速率。
• 如果 S 内部有多个源和汇，液体流过源或汇的体积率（流过汇的流量给定一个负号）等于管口处速度场的散度，所以液体在由 S 包围的整个体积内的散度之和（积分）等于流过 S 的体积率。

散度定理适用于任何守恒定律：所有汇和源的总体积，即散度的体积积分，等于穿过体积边界的净流量。

4.3 旋度定理

旋度定理又称开尔文－斯托克斯定理、斯托克斯定理或旋度基本定理，这是一个把向量场的旋度在曲面上的积分与向量场围绕该曲面的边界线的积分（即环流）联系起来的定理，可表述为：

向量场的旋度在一个闭曲面上的积分，等于向量场沿该曲面闭合的边界线的线积分。

或

向量场中闭曲面的旋度的通量，等于向量场围绕该曲面闭合的边界线的环流。

4.3 旋度定理

假设空间中有一分段光滑的有向闭曲线 Γ，S 是以 Γ 为边界的分片光滑的有向曲面，$\boldsymbol{F}$ 是定义在 S 的邻域上的连续可微的向量场，则有

$$\iint_S{\nabla \times \boldsymbol{F}\cdot \text{d}\boldsymbol{s}}=\oint_{\varGamma}{\boldsymbol{F}}\cdot \text{d}\boldsymbol{r}$$

4.3 旋度定理

在三维条件下，旋度定理可用斯托克斯公式表述：

设 Γ 为分段光滑的空间有向闭曲线，S 是以 Γ 为边界的分片光滑的有向曲面，Γ 的正方向与 S 的侧符合右手法则，函数 $P\left( x,y,z \right)$、$Q\left( x,y,z \right)$ 和 $R\left( x,y,z \right)$ 在 S （联通边界 Γ）上具有一阶连续偏导数，则有

$$\iint_S{\left( \frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z} \right) \text{d}y\text{d}z+\left( \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x} \right) \text{d}z\text{d}x+\left( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right) \text{d}x\text{d}y} \\ =\oint_{\varGamma}{\left( P\text{d}x+Q\text{d}y+R\text{d}z \right)}$$

4.5 向量的积分运算小结